\documentclass[handout]{slide}



\renewcommand{\mytitle}{第九章\quad 多元函数微分法及其应用 }
\renewcommand{\mysubtitle}{第三节\quad 全 微 分}
\graphicspath{ {./images/} }
\begin{document}


\section{全微分的定义}

\begin{frame}{全微分的定义}
\pause
由偏导数的定义知道，二元函数对某个自变量的偏导数表示当另一个自变量固定时， 因变量相对于该自变量的变化率。
\pause
 根据一元函数微分学中增量与微分的关系， 可得
\[
  \begin{aligned}
  f(x+\Delta x, y)-f(x, y) & \approx f_{x}(x, y) \Delta x, \\
f(x, y+\Delta y)-f(x, y) & \approx f_{y}(x, y) \Delta y .
\end{aligned}
\]
\pause
上面两式的左端分别叫做二元函数对 $x$ 和对 $y$ 的\emph{偏增量}， 而右端分别叫做二元函数对 $x$ 和对 $y$ 的\emph{偏微分}。

~

\pause
在实际问题中，有时需要研究多元函数中各个自变量都取得增量时因变量所获得的增量， 即所谓全增量的问题。
\pause
下面以二元函数为例进行讨论。

~

\pause
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $P(x, y)$ 的某邻域内有定义， $P^{\prime}(x+\Delta x, y+\Delta y)$ 为这邻域内的
任意一点， 
\pause
则称这两点的函数值之差 $f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)$ 为函数在点 $P$ 对应于自变量增量 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 的全增量，
\pause
记作 $\Delta z$, 即
\[\tag{3-1}
\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y) .
\]
\end{frame}


\begin{frame}
一般说来，计算全增量 $\Delta z$ 比较复杂。
\pause
 与一元函数的情形一样， 我们希望用自变量的增量$\Delta x, \Delta y$的线性函数来近似地代替函数的全增量 $\Delta z$,
从而引入如下定义：

\pause
\begin{definition*}
设函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的某邻域内有定义，如果函数在点 $(x, y)$ 的全增量
\[
\Delta z=f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y)
\]
可表示为
\[\tag{3-2}
\Delta z=A \Delta x+B \Delta y+o(\rho),
\]
\pause
其中 $A$ 和 $B$ 不依赖于 $\Delta x$ 和 $\Delta y$ 而仅与 $x$ 和 $y$ 有关， $\rho=\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}$, 
\pause
那么称函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ \emph{可微分}， 
\pause
而 $A \Delta x+B \Delta y$ 称为函数 $z=f(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 的\emph{全微分}， 
\pause
记作 $\mathrm{d} z$, 即
\[
  dz=A\Delta x+ B\Delta y.
\]
\end{definition*}


\pause
如果函数在区域$D$内各点处都可微，那么称这函数\emph{在$D$内可微分}。


\end{frame}

\begin{frame}


在第二节中曾指出，多元函数在某点的偏导数存在，并不能保证函数在该点连续。
\pause
但是，有上述定义可知，如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分，那么这函数在该点必定连续。
\pause
事实上，这时由 (3-2) 式可得
\[
  \lim_{\rho\rightarrow 0} \Delta z=0.
\]
\pause
注意到$\rho\rightarrow 0$等价于$(\Delta x, \Delta y)\rightarrow (0,0)$, 
\pause
从而
\[
  \lim_{(\Delta x,  \Delta y)\rightarrow (0,0)} f(x+\Delta x, y+ \Delta y)=\lim_{\rho\rightarrow 0} [f(x,y)+\Delta z]=f(x,y).
\]
\pause
因此函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$处连续。


~

\pause
下面讨论函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分的条件。

\end{frame}

\begin{frame}{可微的必要条件与充分条件}
\pause
  \begin{theorem*}[必要条件]
    如果函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$可微分，
\pause
    那么该函数在点$(x,y)$的偏导数$\frac{\partial z}{\partial x}$与$\frac{\partial z}{\partial y}$必定存在，
    \pause
    且函数$z=f(x,y)$在点$(x,y)$的全微分为
    \[\tag{3-3}
        \mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \Delta x+ \frac{\partial z}{\partial y} \Delta y.
        \]
    \end{theorem*}
\pause
    \begin{proof}
      \pause
      设函数$z=f(x,y)$在点$P(x,y)$可微分。
\pause
于是，对于点$P$的某个邻域内的任意一点 
      $P'(x+\Delta x, y+\Delta y)$, (3-2) 式总成立。
\pause
      特别地，当$\Delta y=0$时 (3-2) 式也应成立，这时$\rho=|\Delta x|$, 所以 (3-2) 式成为
      \[
          f(x+\Delta x, y)-f(x,y)= A\cdot \Delta x+o(|\Delta x|).
          \]
          \pause
        上式两端各除以 $\Delta x$, 再令 $\Delta x \rightarrow 0$ 而取极限，
\pause
        就得
        \[
        \lim _{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+\Delta x, y)-f(x, y)}{\Delta x}=A,
    \]
    \pause
  从而偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 存在， 且等于 $A$. 
\pause
  同样可证 $\frac{\partial z}{\partial y}=B$. 
\pause
  所以 (3-3) 式成立。
\pause
 证毕。
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
我们知道，一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件。
\pause
 但对于多元函数来说， 情形就不同了。
\pause
 当函数的各偏导数都存在时， 虽然能形式地写出 $\frac{\partial z}{\partial x} \Delta x+$ $\frac{\partial z}{\partial y} \Delta y$, 但它与 $\Delta z$ 之差并不一定是较 $\rho$ 高阶的无穷小， 因此它不一定是函数的全微分。
\pause
 换句话说， 各偏导数的存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件。
 \pause
 实际上，我们已经有例子说明偏导数存在不蕴含连续性，而可微分蕴含了连续性，因此这个例子也表明偏导数的存在不蕴含可微分。

 ~

\pause
 再例如，考虑函数
\[
  z=f(x, y)= \begin{cases}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & x^{2}+y^{2} \neq 0 \\ 0, & x^{2}+y^{2}=0\end{cases}.
\]
\pause
此函数在点 $(0,0)$ 处有对$x$的偏导数：
\[
  f_{x}(0,0)=\lim_{\delta x\rightarrow 0} \frac{f(\delta x,0) - f(0,0)}{\delta x} = 0,
\]
\pause
类似地，可知$f_{y}(0,0)=0$.
\pause
所以
\[
  \Delta z-\left[f_{x}(0,0) \cdot \Delta x+f_{y}(0,0) \cdot \Delta y\right]=\frac{\Delta x \cdot \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}.
\]

\end{frame}
\begin{frame}
  如果考虑点 $P^{\prime}(\Delta x, \Delta y)$ 沿着直线 $y=x$ 趋于 $(0,0)$, 那么
\[
\frac{\frac{\Delta x \cdot \Delta y}{\sqrt{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}}{\rho}=\frac{\Delta x \cdot \Delta y}{(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}=\frac{\Delta x \cdot \Delta x}{(\Delta x)^{2}+(\Delta x)^{2}}=\frac{1}{2},
\]
\pause
它不能随 $\rho \rightarrow 0$ 而趋于 0 , 这表示 $\rho \rightarrow 0$ 时，
\[
  \Delta z-\left[f_{x}(0,0) \Delta x+f_{y}(0,0) \Delta y\right]
\]
\pause
并不是较 $\rho$ 高阶的无穷小， 
\pause
因此函数在点 $(0,0)$ 处的全微分并不存在， 即函数在点 $(0,0)$ 处是不可微分的。

~

\pause
由定理 1 及这个例子可知， 偏导数存在是可微分的必要条件而不是充分条件。
\pause
 但是， 如果再假定函数的各个偏导数连续， 那么可以证明函数是可微分的， 即有下面的定理。


\end{frame}


\begin{frame}

  \begin{theorem*}[充分条件]
    如果函数 $z=f(x, y)$ 的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}, \frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $(x, y)$ 连续%
\footnote{这里多元函数的偏导数在一点连续是指： 偏导数在该点的某个邻域内存在， 于是偏导数在这个邻域内有定义，进而这个偏导函数在该点连续。}，
那么函数在该点可微分。
\end{theorem*}
\pause
  以上关于二元函数全微分的定义及可微分的必要条件和充分条件， 可以完全类似地推广到三元和三元以上的多元函数。
\pause
\begin{proof}
由假定， 函数的偏导数 $\frac{\partial z}{\partial x}$ 与 $\frac{\partial z}{\partial y}$ 在点 $P(x, y)$ 的某邻域内存在。
 设点 $(x+\Delta x, y+\Delta y)$ 为该邻域内任意一点， 考察函数的全增量
\[
  \begin{aligned}
    \Delta z & =f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y) \\
  & =[f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y+\Delta y)]+[f(x, y+\Delta y)-f(x, y)]
\end{aligned}
\]
在第一个方括号内的表达式， 由于 $y+\Delta y$ 不变， 因而可以看做是 $x$ 的一元函数 $f(x, y+$ $\Delta y)$ 的增量。
 于是， 应用拉格朗日中值定理，得到
\[
f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y+\Delta y)=f_{x}\left(x+\theta_{1} \Delta x, y+\Delta y\right) \Delta x \quad\left(0<\theta_{1}<1\right) .
\]
\end{proof}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof}[续]
又依假设， $f_{x}(x, y)$ 在点 $(x, y)$ 连续，
所以上式可写为
\[\tag{3-4}
f(x+\Delta x, y+\Delta y)-f(x, y+\Delta y)=f_{x}(x, y) \Delta x+\varepsilon_{1} \Delta x
\]
其中 $\varepsilon_{1}$ 为 $\Delta x$ 与 $\Delta y$ 的函数， 
且当 $\Delta x \rightarrow 0, \Delta y \rightarrow 0$ 时， $\varepsilon_{1} \rightarrow 0$.

  同理可证第二个方括号内的表达式可写为
  \[\tag{3-5}
  f(x, y+\Delta y)-f(x, y)=f_{y}(x, y) \Delta y+\varepsilon_{2} \Delta y
\]
其中 $\varepsilon_{2}$ 为 $\Delta y$ 的函数，
且当 $\Delta y \rightarrow 0$ 时， $\varepsilon_{2} \rightarrow 0$.

由 (3-4)、(3-5) 两式可见， 在偏导数连续的假定下， 全增量 $\Delta z$ 可以表示为
\[\tag{3-6}
\Delta z=f_{x}(x, y) \Delta x+f_{y}(x, y) \Delta y+\varepsilon_{1} \Delta x+\varepsilon_{2} \Delta y .
\]

容易看出
\[
\left|\frac{\varepsilon_{1} \Delta x+\varepsilon_{2} \Delta y}{\rho}\right| \leqslant\left|\varepsilon_{1}\right|+\left|\varepsilon_{2}\right|,
\]
它是随着 $(\Delta x, \Delta y) \rightarrow(0,0)$ 即 $\rho \rightarrow 0$ 而趋于零的。


这就证明了 $z=f(x, y)$ 在点 $P(x, y)$ 是可微分的。
\end{proof}

\end{frame}


\begin{frame}

习惯上，我们将自变量的增量 $\Delta x$ 与 $\Delta y$ 分别记作 $\mathrm{d} x$ 与 $\mathrm{d} y$, 并分别称为自变量 $x$与 $y$ 的微分。
\pause
 这样， 函数 $z=f(x, y)$ 的全微分就可写为
\[\tag{3-7}
\mathrm{d} z=\frac{\partial z}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial z}{\partial y} \mathrm{~d} y
\]

\pause
通常把二元函数的全微分等于它的两个偏微分之和这个结论称为二元函数的微分符合\emph{叠加原理}。


\pause
叠加原理也适用于二元以上的函数。
\pause
 例如， 如果三元函数 $u=f(x, y, z)$ 可微分， 那么它的全微分就等于它的三个偏微分之和， 
\pause
 即
\[
\mathrm{d} u=\frac{\partial u}{\partial x} \mathrm{~d} x+\frac{\partial u}{\partial y} \mathrm{~d} y+\frac{\partial u}{\partial z} \mathrm{~d} z .
\]

\pause
  \begin{example}
  计算函数 $z=x^{2} y+y^{2}$ 的全微分。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
  \pause
因为 $\frac{\partial z}{\partial x}=2 x y, \frac{\partial z}{\partial y}=x^{2}+2 y$, 
\pause
所以
\[
\mathrm{d} z=2 x y \mathrm{~d} x+\left(x^{2}+2 y\right) \mathrm{d} y .
\]
\end{solution}

\end{frame}


\begin{frame}

\pause
\begin{example}
计算函数 $z=\mathrm{e}^{x y}$ 在点 $(2,1)$ 处的全微分。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
  \pause
因为
\[
  \frac{\partial z}{\partial x}=y \mathrm{e}^{x y}, \frac{\partial z}{\partial y}=x \mathrm{e}^{x y} ;\left.\quad \frac{\partial z}{\partial x}\right|_{\substack{x=2 \\ y=1}}=\mathrm{e}^{2},\left.\frac{\partial z}{\partial y}\right|_{\substack{x=2 \\ y=1}}=2 \mathrm{e}^{2},
      \]
      \pause
    所以
    \[
      \left.\mathrm{d} z\right|_{\substack{x=2 \\ y=1}}=\mathrm{e}^{2} \mathrm{~d} x+2 \mathrm{e}^{2} \mathrm{~d} y
    \]
\end{solution}
\pause
\begin{example}
  计算函数 $u=x+\sin \frac{y}{2}+\mathrm{e}^{y z}$ 的全微分。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
  \pause
因为 $\frac{\partial u}{\partial x}=1, \frac{\partial u}{\partial y}=\frac{1}{2} \cos \frac{y}{2}+z \mathrm{e}^{y z}, \frac{\partial u}{\partial z}=y \mathrm{e}^{y z}$, 
\pause
所以
\[
\mathrm{d} u=\mathrm{d} x+\left(\frac{1}{2} \cos \frac{y}{2}+z \mathrm{e}^{y z}\right) \mathrm{d} y+y \mathrm{e}^{y z} \mathrm{~d} z
\]
\end{solution}
\end{frame}

\section{全微分在近似计算中的应用}


\begin{frame}{全微分在近似计算中的应用}
  
  \pause
由二元函数全微分的定义及关于全微分存在的充分条件可知， 当二元函数 $z=f(x, y)$在点 $P(x, y)$ 的两个偏导数 $f_{x}(x, y), f_{y}(x, y)$ 连续， 并且 $|\Delta x|,|\Delta y|$ 都较小时， 
\pause
就有近似等式
\[\tag{3-8}
\Delta z \approx \mathrm{d} z=f_{x}(x, y) \Delta x+f_{y}(x, y) \Delta y .
\]
\pause
上式也可以写成
\[\tag{3-9}
f(x+\Delta x, y+\Delta y) \approx f(x, y)+f_{x}(x, y) \Delta x+f_{y}(x, y) \Delta y .
\]

~


\pause
与一元函数的情形相类似， 可以利用 (3-8) 式或 (3-9) 式对二元函数作近似计算和误差估计，举例于下。

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  有一圆柱体受压后发生形变， 它的半径由 $20 \mathrm{~cm}$ 增大到 $20.05 \mathrm{~cm}$, 高度由 $100 \mathrm{~cm}$ 减少到 $99 \mathrm{~cm}$. 求此圆柱体体积变化的近似值。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
  \pause
设圆柱体的半径、高和体积依次为 $r, h$ 和 $V$,则有
\[
  V=\pi r^{2} h.
\]
\pause
记 $r, h$ 和 $V$ 的增量依次为 $\Delta r, \Delta h$ 和 $\Delta V$. 
\pause
应用公式 (3-8), 有
\[
\Delta V \approx \mathrm{d} V=V_{r} \Delta r+V_{h} \Delta h=2 \pi r h \Delta r+\pi r^{2} \Delta h .
\]
\pause
把 $r=20, h=100, \Delta r=0.05, \Delta h=-1$ 代人， 得
\[
\Delta V \approx 2 \pi \times 20 \times 100 \times 0.05+\pi \times 20^{2} \times(-1)=-200 \pi\left(\mathrm{cm}^{3}\right) .
\]
\pause
即此圆柱体在受压后体积约减少了 $200 \pi \mathrm{cm}^{3}$.
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{example}
  计算 $1.04^{2.02}$ 的近似值。
\end{example}

\pause
\begin{solution}
  \pause
设函数 $f(x, y)=x^{y}$. 
\pause
显然， 要计算的值就是函数在 $x=1.04, y=2.02$ 时的函数值 $f(1.04,2.02)$.
\pause
取 $x=1, y=2, \Delta x=0.04, \Delta y=0.02$. 
\pause
由于
\[
  \begin{gathered}
    f_{x}(x, y)=y x^{y-1}, \quad f_{y}(x, y)=x^{y} \ln x, \\
  f(1,2)=1, \quad f_{x}(1,2)=2, \quad f_{y}(1,2)=0,
\end{gathered}
\]
\pause
所以，应用公式 (3-9) 便有
\[
  1.04^{2.02} \approx 1+2 \times 0.04+0 \times 0.02=1.08.
\]
\end{solution}
\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  利用单摆摆动测定重力加速度 $g$ 的公式是
  \[
    g=\frac{4 \pi^{2} l}{T^{2}}.
  \]
现测得单摆摆长 $l$ 与振动周期 $T$ 分别为 $l=(100 \pm 0.1) \mathrm{cm}, T=(2 \pm 0.004) \mathrm{s}$. 问由于测定 $l$与 $T$ 的误差而引起 $g$ 的\emph{绝对误差}和\emph{相对误差}各为多少%
\footnote{按第二章第五节的说明， 这里的绝对误差和相对误差各指相应的误差限。}?
\end{example}
\pause
\begin{solution}
如果把测量 $l$ 与 $T$ 时所产生的误差当作 $|\Delta l|$ 与 $|\Delta T|$, 那么利用上述计算公式所产生的误差就是二元函数 $g=\frac{4 \pi^{2} l}{T^{2}}$ 的全增量的绝对值 $|\Delta g|$. 
\pause
由于 $|\Delta l|,|\Delta T|$都很小，因此我们可以用 $\mathrm{d} g$ 来近似地代替 $\Delta g$. 
\pause
这样就得到 $g$ 的误差为
\[
  \begin{aligned}
    |\Delta g| & \approx|\mathrm{d} g|=\left|\frac{\partial g}{\partial l} \Delta l+\frac{\partial g}{\partial T} \Delta T\right| \\
  & \leqslant\left|\frac{\partial g}{\partial l}\right| \cdot \delta_{l}+\left|\frac{\partial g}{\partial T}\right| \cdot \delta_{T}=4 \pi^{2}\left(\frac{1}{T^{2}} \delta_{l}+\frac{2 l}{T^{3}} \delta_{T}\right),
\end{aligned}
\]
其中 $\delta_{l}$ 与 $\delta_{T}$ 分别为 $l$ 与 $T$ 的绝对误差。
\end{solution}
\end{frame}

\begin{frame}

  \begin{solution}[续]
    \pause
 把 $l=100 \mathrm{~cm}, T=2 \mathrm{~s}, \delta_{l}=0.1 \mathrm{~cm}, \delta_{T}=0.004 \mathrm{~s}$ 代人上式， 得 $g$ 的绝对误差约为
\[
\delta_{g}=4 \pi^{2}\left(\frac{0.1}{2^{2}}+\frac{2 \times 100}{2^{3}} \times 0.004\right)=0.5 \pi^{2} \approx 4.93\left(\mathrm{~cm} / \mathrm{s}^{2}\right) .
\]
\pause
从而 $g$ 的相对误差约为
\[
  \frac{\delta_{g}}{g}=\frac{0.5 \pi^{2}}{\frac{4 \pi^{2} \times 100}{2^{2}}}=0.5 \%.
\]
\end{solution}

\pause
从上面的例子可以看到， 对于一般的二元函数 $z=f(x, y)$, 如果自变量 $x, y$ 的绝对误差分别为 $\delta_{x}, \delta_{y}$, 
\pause
即
\[
|\Delta x| \leqslant \delta_{x}, \quad|\Delta y| \leqslant \delta_{y},
\]
\pause
那么 $z$ 的误差
\[
  \begin{aligned}
  |\Delta z| & \approx|\mathrm{d} z|=\left|\frac{\partial z}{\partial x} \Delta x+\frac{\partial z}{\partial y} \Delta y\right| 
\leqslant\left|\frac{\partial z}{\partial x}\right| \cdot|\Delta x|+\left|\frac{\partial z}{\partial y}\right| \cdot|\Delta y| \\
& \leqslant\left|\frac{\partial z}{\partial x}\right| \delta_{x}+\left|\frac{\partial z}{\partial y}\right| \delta_{y},
\end{aligned}
\]
\pause
从而得到 $z$ 的绝对误差和相对误差分别约为
\begin{align*}
  \delta_{z}= \left|\frac{\partial z}{\partial x}\right| \delta_{x}+\left|\frac{\partial z}{\partial y}\right| \delta_{y},
\qquad
\frac{\delta_{z}}{|z|}= \left|\frac{\frac{\partial z}{\partial x}}{z}\right| \delta_{x}+\left|\frac{\frac{\partial z}{\partial y}}{z}\right| \delta_{y}.
\end{align*}
\end{frame}


\end{document}
